一种顾及先验约束的北斗观测数据多路径一步修正模型 A One-Step Multipath Delay Correction Model for BeiDou Satellite Observations with Prior Constraint 1 2 3 first-author 胡超，博士，主要从事GNSS精密轨道确定方法研究。chaohu2014gnss@163.com 胡超，博士，主要从事GNSS精密轨道确定方法研究。chaohu2014gnss@163.com chaohu2014gnss@163.com 2 3 corresp 王中元，博士，副教授。wzy@cumt.edu.cn 王中元，博士，副教授。wzy@cumt.edu.cn wzy@cumt.edu.cn 1 2 3 安徽理工大学空间信息与测绘工程学院，安徽 淮南，232001 安徽理工大学空间信息与测绘工程学院，安徽 淮南，232001 School of Spatial Information and Geomatics Engineering, Anhui University of Science and Technology, Huainan 232001, China School of Spatial Information and Geomatics Engineering, Anhui University of Science and Technology, Huainan 232001, China 中国矿业大学自然资源部国土环境与灾害监测重点实验室，江苏 徐州，221116 中国矿业大学自然资源部国土环境与灾害监测重点实验室，江苏 徐州，221116 Key Laboratory of Land Environment and Disaster Monitoring, Ministry of Natural Resources, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China Key Laboratory of Land Environment and Disaster Monitoring, Ministry of Natural Resources, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China 中国矿业大学环境与测绘学院，江苏 徐州，221116 中国矿业大学环境与测绘学院，江苏 徐州，221116 School of Environmental Science and Spatial Informatics, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China School of Environmental Science and Spatial Informatics, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China 卫星观测数据质量是衡量系统服务性能的关键指标之一。多路径延迟作为导航定位服务中的主要误差源，是全球导航卫星系统数据处理领域的研究热点。针对多路径分步处理策略无法获得全局最优解的问题，提出一种基于先验约束的北斗卫星导航系统（BeiDou navigation satellite system, BDS）观测数据多路径实时修正模型。首先，基于提取的多路径延迟序列，利用全变分正则化算法实现多路径序列的分离与降噪；然后，利用最小二乘和自回归模型对多路径序列中趋势项与随机项进行一步建模处理；最后，以求解的多路径模型系数为先验信息，精化实时服务条件下BDS多路径处理模型。BDS实时精密单点定位实验表明，相较于传统多路径处理策略，经顾及先验约束的BDS观测数据一步修正后，BDS-2定位精度在E、N、U方向分别提升了10.6%~64.9%、0.0%~59.1%和12.6%~67.2%（B1I+B3I），BDS-3定位精度在E、N、U方向分别提升了13.9%、60.0%、45.9%（B1I+B3I）与19.1%、46.5%、23.9%（B1C+B2a）。所提的多路径处理模型可有效改善BDS实时定位应用中观测数据质量。 Objectives 2 Observation quality is one of the key issues to assess the performances of satellite navigation system. As the main error of positioning and navigation, the multipath delay mitigation has become the focus of the research in global navigation satellite system. Because the traditional multipath modelling strategy cannot obtain the global optimal solutions, this paper proposes a real-time multipath correction model for BeiDou navigation satellite system (BDS) observation with information constraints. Methods 2 Firstly, the regularization algorithm combined with total variation term is used to denoise and solve the multipath delay series based on the estimated BDS multipath delays. Secondly, the trend and random parts of multipath delays are separately processed and together modelled, in which the strategy of least square plus autoregression is used to estimate model coefficients of multipath delay model by one-step solution. Finally, the multipath mitigation model is further optimized by introducing the estimated model coefficients as the prior information constraints in the BDS real-time applications. Results 2 The results of real-time experiments of BDS precise point positioning show that, compared with the traditional strategy, the position accuracy of BDS-2 PPP in east (E), north (N) and up (U) directions can be improved with 10.6%-64.9%, 0.0%-59.1% and 12.6%-67.2% (B1I+B3I), respectively. Moreover, the position accuracy of BDS-3 PPP can be optimized with at least 13.9%, 60.0%, 45.9% (B1I+B3I) and 19.1%, 46.5%, 23.9% (B1C+B2a) in E, N and U directions, respectively. Conclusions 2 Therefore, the proposed mitigation multipath delays method can significantly improve the BDS observation quality in the BDS real-time positioning services. 北斗观测数据 最小二乘和自回归策略 一步修正 先验信息 多路径延迟 BeiDou satellite observation least square plus autoregression strategy one-step solution prior information multipath delay 全球卫星导航系统（global navigation satellite system， GNSS）凭借全天候连续导航、定位与授时（positioning， navigation and timing， PNT）服务能力，正被广泛应用于国防建设与国民经济发展中。北斗卫星导航系统（BeiDou navigation system， BDS）历经北斗导航试验系统（BDS-1）、北斗区域服务系统（BDS-2）和北斗全球服务系统（BDS-3）等3个发展阶段 ［ 1 1 ］ ，于2020年7月开通全球服务，为中国建设更加泛在、更加融合、更加智能的PNT体系打下坚实基础，也为推动BDS创新发展与产业化提供契机 ［ 2 2 ］ 。为了实现BDS更加稳健可靠的快速服务，有必要对其数据质量控制、产品精化以及参数处理进行深入研究 ［ 3 3 ］ 。 BDS的地球同步轨道（geostationary orbit，GEO）卫星、倾斜地球同步轨道（inclined geo-synchronous orbit，IGSO）卫星和中圆地球轨道（medium earth orbit，MEO）卫星均存在伪距偏差。卫星轨道钟差产品是BDS高精度导航定位服务的关键参数，其性能主要受卫星观测数据质量、参数处理策略以及物理模型等因素影响 ［ 4 4 ］ ，其中，观测数据质量是系统性能的直接指标 ［ 4 4 - 5 5 4-5 ］ 。研究表明，高质量的观测数据可有效提升模糊度固定精度 ［ 6 6 ］ 、精密单点定位（precise point positioning， PPP）精度 ［ 7 7 ］ 以及GNSS授时性能 ［ 8 8 ］ 。当前，BDS-2卫星观测数据质量控制的研究主要包括C/N 0 分析 ［ 9 9 ］ 、多路径消除及噪声处理 ［ 10 10 - 11 11 10-11 ］ 、观测数据精度评估 ［ 12 12 ］ 等；而BDS-3观测数据处理主要集中于多频观测信号分析 ［ 5 5 ］ 、观测数据质量评估 ［ 13 13 ］ 以及系统内/间偏差处理 ［ 3 3 ］ 等。相关实验显示，BDS-3星地观测数据质量相较于BDS-2有了明显提升，实现了优于GPS或相当水平 ［ 5 5 ， 14 14 ］ ，但BDS多频观测数据中存在与卫星高度角相关的多路径延迟量，对系统高精度快速（实时/近实时）服务产生较明显影响 ［ 11 11 ， 15 15 ］ ，有必要对BDS多频观测数据中多路径误差进行高精度建模与消除处理。为提高BDS/GNSS观测数据中多路径建模的可靠性，相关数据处理策略可归纳为4点：一是基于时间域的滤波处理，如小波降噪 ［ 16 16 ］ 以及Vondrak滤波 ［ 17 17 ］ 等；二是基于周期函数建模，如恒星日滤波 ［ 18 18 - 19 19 18-19 ］ ；三是基于空间域的多路径建模，如半球格网法 ［ 20 20 ］ 、球谐函数模型 ［ 21 21 ］ ；四是基于机器学习方法的高精度快速建模，如Tikhonov正则化算法 ［ 22 22 ］ 、模型稀疏 ［ 23 23 ］ 以及核技巧 ［ 24 24 ］ 等。 上述多路径延迟的提取、建模以及消除方法与策略为提升BDS/GNSS观测数据质量奠定了坚实基础，但BDS多频观测数据处理方法和先趋势项、后随机项的多路径建模策略 ［ 4 4 ］ 仍存在3个亟待解决的关键问题：一是观测数据中存在与卫星高度角强相关趋势项（如BDS-2伪距偏差），在实时（近实时）观测数据处理中难以有效地进行建模与消除；二是传统的数据处理策略中采用两步法进行多路径建模 ［ 4 4 ］ ，不仅无法获得最优模型解，同时不能将BDS观测数据中趋势项与随机项统一处理；三是在实时或近实时应用中，利用历史的模型系数进行多路径消除无法满足精度需求，如何实现快速服务条件下多路径模型准确构建仍需深入探讨。当前针对BDS-2多路径建模与伪距偏差消除等方面的研究已十分成熟 ［ 10 10 ， 25 25 ］ ，本文考虑快速服务条件下的BDS观测数据预处理策略精化方法。在复杂应用环境中，基于简单的理论模型很难实现BDS观测数据多路径的快速高精度处理。当前，人工智能、机器学习以及深度学习相关算法作为大数据处理领域的研究热点问题，相关优秀算法也逐渐融入GNSS数据处理中；主流的机器学习方法包括决策树模型、神经网络模型、支持向量机、贝叶斯分类器、集成学习、特征选择与稀疏建模等 ［ 26 26 ］ 。在GNSS数据处理方面，由于不同算法存在一定差异性与适用性，相应算法还处于探索阶段，如多路径模型构建方面有支持向量机 ［ 19 19 ］ 、正则化 ［ 22 22 ］ 、稀疏建模 ［ 23 23 ］ 。针对上述多路径建模中存在的典型问题，本文提出一种顾及先验约束的BDS多路径一步建模与消除模型，以期实现快速服务条件下BDS星地观测数据质量高精度控制。 1　BDS多路径一步建模与修正原理 1 为实现BDS多路径准确建模与消除处理，本文提出一种基于先验约束的BDS观测数据多路径延迟一步修正模型。首先，通过全变分正则项对多路径序列进行稀疏建模处理，实现观测数据较少以及噪声影响条件下的多路径序列准确分离；然后，考虑传统两步法进行趋势项与随机项建模时无法获得全局最优解的问题（多步处理会造成模型误差累积效应，且忽略了参数间的相关性，间接导致无法获得参数全局最优解 ［ 27 27 ］ ），构建基于最小二乘和自回归（least square plus autoregressive， LS+AR）策略的模型系数一步估计方法；最后，针对实时或近实时等快速应用需求，提出一种基于先验信息约束的多路径修正模型。 1.1　多路径延迟序列稀疏建模方法 2 GNSS数据处理中，为提取导航卫星星地观测数据中多路径延迟量，可利用双频或多频观测数据线性组合对其进行提取，计算式为： <math display="block" id="M1"><mtable><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msubsup><mo 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<math display="block" id="M9"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115656&type= 2.87866688 3.64066648 为 t k 历元的卫星高度角； a 0 、 a 1 、 a 2 表示多路径模型系数； ε 为模型误差； z 表示随机部分，基于自回归（autoregressive，AR）模型可进一步表示为： <math display="block" id="M11"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow/></mmultiscripts></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>d</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msubsup><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></msubsup></mrow><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mi>d</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115708&type= 66.04000092 10.58333302 式中， R 为多路径延迟量的趋势项； <math id="M15"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><mtable><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd><mtd><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mtd><mtd><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo stretchy="false">]</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115699&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115697&type= 45.55066681 3.97933316 为 式（6） 式（6） 中趋势项自变量矩阵； <math id="M16"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">b</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mtable><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr></mtable><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115723&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115719&type= 30.31066895 3.55599999 为趋势项模型系数矩阵。联立 式（7） 式（7） ，则 式（9） 式（9） 可进一步整理为： <math display="block" id="M17"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115753&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115733&type= 1.86266661 3.64066648 为简化后的模型误差。 联立 式（9） 式（9） 与 式（10） 式（10） ，进一步化简得到： <math display="block" id="M19"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>d</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msubsup><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></msubsup><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo 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id="M20"><msubsup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115763&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115772&type= 44.02666473 5.07999992 为噪声项。累加所有观测数据，可得第 h 颗卫星模型参数的一步求解方程： <math display="block" id="M21"><mtable><mtr><mtd><mo stretchy="false">[</mo><mi mathvariant="bold-italic">K</mi><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">I</mi></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>-</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>⊗</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">ω</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo stretchy="false">[</mo><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi 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separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋮</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">u</mi><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></mmultiscripts></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115816&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115805&type= 17.61066628 19.04999924 ， <math display="block" id="M25"><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">G</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">G</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋮</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">G</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115829&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115811&type= 18.28800011 19.04999924 ， <math display="block" id="M26"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">G</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋮</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115824&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115823&type= 22.01333237 19.04999924 ， <math display="block" id="M27"><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋮</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115827&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115837&type= 23.45266724 22.86000061 ， <math display="block" id="M28"><mi mathvariant="bold-italic">Q</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">M</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">M</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋮</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">M</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115860&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115847&type= 18.96533203 19.38866615 ， <math display="block" id="M29"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">M</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋮</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115854&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115851&type= 29.20999908 22.86000061 1.2　基于先验信息约束的模型精化方法 2 通过式（1）~ 式（13） 式（13） ，可实现多路径序列的一步建模处理。在快速（实时或近实时）应用中，传统策略主要是基于估计的多路径模型系数进行外推 ［ 11 11 ］ 。理论上，考虑复杂应用环境影响，基于外推的多路径延迟量难以实现PPP中多路径误差实时准确修正。因此，为进一步精化BDS多路径延迟误差消除策略，以期实现模型系数实时更新处理。本节提出一种顾及先验信息的多路径模型参数处理策略，即在获得先验模型参数及其精度信息的前提下，由式（1）~ 式（13） 式（13） 可推导出第 h 颗卫星对应的误差方程： <math display="block" id="M30"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mtext>    </mtext><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">V</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">B</mi><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">η</mi><mo>,</mo><mtext>    </mtext><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">B</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">I</mi></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>-</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>⊗</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">ω</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">Q</mi><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">V</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi mathvariant="bold-italic">K</mi><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">I</mi></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>-</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>⊗</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">ω</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115866&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115873&type= 49.95333481 21.92866707 式中， <math id="M31"><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115870&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115879&type= 3.38666677 3.72533321 、 x 分别表示先验值（估计的模型系数）以及多路径模型待估系数； B 和 V 分别对应 式（12） 式（12） 中系数矩阵； <math id="M32"><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold">τ</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115888&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115872&type= 2.87866688 3.72533321 与 η 分别表示先验噪声以及观测噪声； <math id="M33"><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115892&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115905&type= 3.72533321 4.40266657 、 <math id="M34"><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115916&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115913&type= 2.70933342 2.79399991 为对应的先验权阵与观测权阵， <math id="M35"><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115900&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115911&type= 3.72533321 4.40266657 根据式（1）~ 式（13） 式（13） 估计出的模型参数方差-协方差阵确定， <math id="M36"><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115916&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115913&type= 2.70933342 2.79399991 采用高度角定权的思想，即对任意历元 t k ，有： <math display="block" id="M37"><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><msup><mrow/><mrow/></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow/><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115934&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115926&type= 41.14799881 9.31333351 式中， δ 针对BDS/GNSS伪距观测值一般取0.3 m。 在 式（14） 式（14） 处理中，其对应的权阵可分解为： <math display="block" id="M38"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115948&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115931&type= 27.43199921 10.07533360 因此， 式（14） 式（14） 可进一步表示为： <math display="block" id="M39"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">V</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">B</mi><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">η</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115954&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115951&type= 38.09999847 10.15999985 令 <math id="M40"><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115939&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115937&type= 15.91733265 4.40266657 ， <math id="M41"><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115941&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115959&type= 15.32466698 4.65666676 ， <math id="M42"><mi mathvariant="bold-italic">z</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">V</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115963&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115943&type= 13.63133430 2.96333337 ， <math id="M43"><mi mathvariant="bold-italic">C</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115969&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115965&type= 13.54666710 2.79399991 ， <math id="M44"><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">η</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">η</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115976&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115973&type= 14.13933277 3.89466691 ，则 式（17） 式（17） 可改写为： <math display="block" id="M45"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">z</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">C</mi><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">η</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115993&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115947&type= 25.65399933 10.15999985 同时，基于Householder变换， 式（18） 式（18） 可表示为： <math display="block" id="M46"><mi mathvariant="bold-italic">H</mi><mo>⋅</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">C</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">H</mi><mo>⋅</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi mathvariant="bold-italic">H</mi><mo>⋅</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">η</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115997&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45115995&type= 47.41333389 9.48266602 式（19） 式（19） 进一步化简后，可得： <math display="block" id="M47"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">z</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">ϑ</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">η</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">ϑ</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116001&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116000&type= 32.08866501 9.56733322 式中， <math id="M48"><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116004&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116003&type= 3.97933316 4.65666676 、 <math id="M49"><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">z</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116007&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116006&type= 3.04800010 3.89466691 和 <math id="M50"><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116009&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116008&type= 2.87866688 3.80999994 分别表示 式（19） 式（19） 中对应变换后的参数； <math id="M51"><mi mathvariant="bold-italic">ϑ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116013&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116011&type= 2.20133328 2.79399991 、 <math id="M52"><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">η</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">ϑ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116015&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116023&type= 3.38666677 4.65666676 分别表示模型残差及噪声。因此，模型参数的解可表示为： <math display="block" id="M53"><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mo>⋅</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">z</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116025&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116017&type= 17.94933319 4.91066647 式中，模型参数 x 的验后权阵为 <math id="M54"><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116030&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116028&type= 26.83933067 5.33400011 。 通过式（14）~ 式（21） 式（21） ，可实现基于先验信息的多路径模型系数更新处理。 图1 图1 为多路径延迟一步建模消除策略的主要处理流程，利用短时提取的多路径序列进行建模参数精化，数据处理中需利用模型信息量（如 p AIC ），并基于历元间隔、模型参数以及观测精度进行动态判断具体所需初始历元数目 ［ 4 4 ］ ；在参数处理中，随着观测历元的积累，可根据卫星高度角变化趋势（每隔30°）进行模型参数更新处理。 2　BDS多路径建模实验与分析 1 为验证本文提出的BDS多路径延迟建模与消除策略可行性，利用国际GNSS服务组织（international GNSS service，IGS）、国际GNSS监测与评估系统（international GNSS monitoring and assessment system， iGMAS）以及多模GNSS实验（multi-GNSS experiment， MGEX）全球跟踪站观测数据进行实验分析。 图2 图2 为测站分布，其中可接收BDS-3观测数据的测站共273个，观测时间为2020年08-08—08-15（年积日221~228）。分别任意选取10个iGMAS与MGEX测站，从BDS-2/BDS-3多频观测数据多路径分析、BDS-2伪距偏差修正、BDS-3多路径建模与消除以及实时PPP等4个方面展开分析，其中数据分析均基于单站处理过程。 2.1　BDS⁃2/BDS⁃3观测数据多路径分析 2 在进行BDS多路径建模与消除实验前，有必要对BDS-2/BDS-3多频观测数据中多路径延迟量特性进行分析。首先选取BJF1与WUH2两个跟踪站，基于连续5天（2020-08-11—08-15）观测数据分析BDS-2（B1I/B3I）以及BDS-3（B1I/B3I/B1C/B2a）伪距观测值多路径特性；然后利用 式（1） 式（1） 计算出不同频率上多路径延迟序列， 图3 图3 与 图4 图4 分别给出了BJF1测站BDS-2卫星以及WUH2测站BDS-3卫星的多路径及其对应的卫星高度角序列，历元间隔为30 s。 为了具体表示BDS-2/BDS-3不同观测数据中多路径量级，对BDS-2不同频率和不同卫星所对应的多路径延迟量进行统计，结果见 表1 表1 ；同时，为了说明BDS-3多路径误差中存在与卫星高度角相关的趋势项，对iGMAS与MGEX测站分别统计了不同高度角区间内多路径延迟量，结果见 表2 表2 。 2 2 卫星 2 B1I 2 B3I 2 B1C 2 B2a 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 2 BDS-2 IGSO 0.036 0.568 0.011 0.525 — — — — MEO -0.128 0.402 -0.041 0.232 — — — — 2 2 卫星 3 B1I 3 B3I 3 B1C 3 B2a [0°,30°] (30°,60°] (60°,90°] [0°,30°] (30°,60°] (60°,90°] [0°,30°] (30°,60°] (60°,90°] [0°,30°] (30°,60°] (60°,90°] 2 iGMAS MEO 0.231 0.176 0.175 0.234 0.123 0.128 0.276 0.205 0.172 0.192 0.108 0.079 IGSO 0.402 0.293 0.299 0.325 0.244 0.302 0.566 0.451 0.352 0.391 0.258 0.265 14 2 MGEX MEO 0.356 0.204 0.176 0.116 0.102 0.089 0.119 0.108 0.082 0.258 0.096 0.086 IGSO 0.419 0.275 0.181 0.434 0.209 0.144 0.309 0.167 0.130 0.252 0.137 0.126 由 图3 图3 、 图4 图4 以及 表1 表1 、 表2 表2 可以看出，BDS-2/BDS-3多频观测数据中存在较明显的多路径误差，尤其是B1I频率；BDS-2/BDS-3观测数据中多路径延迟量存在与高度角明显相关的趋势项，BDS-2多路径特性主要是由于伪距偏差引起 ［ 5 5 ］ 。需要注意的是，实验中发现BDS-3伪距多路径存在与卫星高度角相关的趋势项，如 表2 表2 所示，其随高度角增加呈现减小的趋势，该结论与当前GNSS数据处理中多路径延迟特性相符；而通过 表3 表3 可进一步说明BDS-3伪距多路径中存在一定的随高度角趋势项，其量级与已有的结论相符 ［ 5 5 ， 31 31 ］ ；本文目标是对BDS（BDS-2与BDS-3）多路径延迟进行精细化处理，即将其中包含的趋势项与随机项分别建模。综上，在BDS-2/BDS-3高精度服务中，有必要对多路径误差进行建模与消除，针对趋势项与随机项分别构建合理的高精度修正模型是必须考虑的关键问题。 2 卫星系统 3 a 0 3 a 1 3 a 2 方案一 方案二 方案三 方案一 方案二 方案三 方案一 方案二 方案三 BDS-2 0.064 2 0.051 4 0.046 1 0.002 5 0.002 2 0.002 1 2.487×10 -5 2.334×10 -5 2.265×10 -5 BDS-3 0.019 0 0.016 1 0.011 8 0.000 7 0.000 5 0.000 5 6.504×10 -6 4.658×10 -6 4.372×10 -6 2.2　BDS⁃2伪距偏差建模与消除分析 2 由上述结果可知，BDS-2伪距多路径延迟中存在与高度角强相关的趋势项（伪距偏差），为验证本文提出的多路径一步建模与修正策略对于BDS-2伪距偏差处理效果，基于2020年09-17—10-16（年积日261~290）的BDS-2观测数据，构建3套实验对比方案： 1）方案一：基于 式（1） 式（1） 提取BDS-2多路径延迟序列（ 图5 图5 （a）），利用全变分正则化策略进行稀疏建模，输出相应的处理后序列。 2）方案二：基于多项式模型提取多路径序列中趋势项，利用AR模型进行序列残差建模处理，分析最终的模型残差。 3）方案三：利用本文提出的一步建模修正策略，对多路径误差与伪距偏差进行一步建模处理，输出相应的模型残差。 为说明不同建模方案之间差异， 图5 图5 为基于MP1（B1I频率）的原始序列以及3种方案对应的模型残差正态分布图，其中 μ 为残差均值， σ 为残差标准差。 表3 表3 中统计了不同方案所对应的BDS-2 B1I伪距偏差模型系数标准差（standard deviation，STD），即 式（6） 式（6） 中的 a 0 、 a 1 、 a 2 标准差；为说明趋势项特性，通过参数处理流程输出BDS-3相应的模型参数。从 图5 图5 与 表3 表3 可以看出，基于全变分正则化系数建模可实现多路径序列一定程度的优化处理；多路径一步建模可实现优于先趋势、后随机（方案二）的两步建模效果，输出更稳定的模型参数；BDS-3观测数据多路径延迟中同样存在趋势项，在建模过程中仅以AR模型（或视为白噪声）处理显然不合理，下文将对BDS-3观测数据进一步分析。 2.3　BDS⁃3多路径一步建模分析 2 在全变分正则化稀疏建模与模型参数一步估计基础上，对BDS-2观测数据中伪距偏差提取，可实现多路径序列处理模型优化。基于BDS-3卫星多频观测数据，进一步分析本文提出的一步法优化策略的可行性。基于MGEX与iGMAS跟踪站数据，设计了3组对比实验策略： 1）AR策略：在提取的多路径延迟序列全变分正则化预处理基础上，利用AR模型对BDS-3各频率上多路径序列进行建模处理，分析建模后的序列残差。 2）LS+AR两步策略：为消除多路径序列中趋势项，首先基于多项式模型对随高度角变化的系统部分提取，然后利用AR模型对残差进行建模处理。 3）LS+AR一步策略：类似于LS+AR两步策略，在多路径建模过程中采用LS+AR方法对趋势项与随机项进行一步处理，分析相应的建模后的序列残差。 为直观表示不同建模方案实验效果， 图6 图6 给出了不同方案下BDS-3多路径延迟建模残差正态分布图。从 图6 图6 可以看出，相对于传统的AR策略，利用LS+AR进行BDS-3观测数据多路径一步建模的模型残差更稳定。 如前所述，针对实时或近实时等快速应用条件下的高精度服务需求，无法通过长时间序列进 行建模处理，本文提出了一种基于先验信息约束的多路径模型精化策略。为了分析本文所提处理策略的可行性，下面基于BDS-3观测数据设计了对比实验，对后一天的多路径残差序列进行分析。 1）实验一：基于LS+AR一步策略估计趋势项与随机项模型系数，对后一天的多路径延迟序列进行模型系数外推并校正多路径误差。同样，基于AR模型系数进行外推，统计后一天BDS-3观测数据多路径序列残差。 2）实验二：利用式（14）~ 式（21） 式（21） ，基于估计的模型系数以及后一天短时（1 h）积累的观测数据进行多路径模型系数精化处理，通过AIC筛选初始观测历元数，分析后一天多路径序列残差。 图7 图7 为后一天不同实验方案中多路径建模残差随高度角变化序列。从 图7 图7 可以看出，基于先验信息约束的多路径优化策略可获得残差更小的实验效果。同时，为了说明本文提出的优化策略普适性，基于一周的BDS-3多频观测数据统计了不同频率的多路径序列残差均方根误差（root mean square，RMS），结果见 表4 表4 。由 图7 图7 和 表4 表4 可知，基于先验约束的多路径延迟快速修正策略可实现不同频率观测数据多路径的有效处理。 对比实验 B1I B3I B1C B2a 实验一 0.261 0.144 0.172 0.154 实验二 0.135 0.102 0.092 0.089 2.4　实时PPP实验分析 2 本文提出的BDS多路径优化模型目标是实现快速服务性能提升，基于实时PPP平台验证多路径建模与优化策略的可行性。由于受实时数据流限制，实验采用BDS-2/BDS-3观测数据进行仿真处理，实时PPP数据处理流程如 图8 图8 所示，主要包括超快速轨道产品解算、实钟差参数估计以及实时PPP解算等3部分，具体数据处理流程见文献［ 4 4 ］。 类似地，实验基于2019年09-18—09-27（年积日261~270）连续10天的观测数据验证4个iGMAS与MGEX测站（KUN1/SHA1/VACS/SGOC）不同处理策略，即BDS-2单系统不处理（BDS-2）、BDS-2单系统两步处理（BDS-2两步策略）、BDS-2单系统一步建模处理（BDS-2一步策略）、BDS-2+BDS-3双系统不处理（BDS-2+BDS-3）、BDS-2+BDS-3双系统两步处理（BDS-2+BDS-3两步策 略）以及BDS-2+BDS-3双系统一步建模处理（BDS-2+BDS-3一步策略）。 图9 图9 给出了不同多路径处理策略下不同测站的东（E）、北（N）、天（U）方向位置残差时间序列， 表5 表5 为连续10天位置残差RMS平均值和提升率。考虑到BDS-2观测频率限制，实验主要基于B1I+B3I观测数据展开分析。 2 测站 2 方向 5 BDS-2 5 BDS-2+BDS-3 不处理RMS/cm 两步策略 RMS/cm 提升率/% 一步策略 RMS/cm 提升率/% 不处理RMS/cm 两步策略 RMS/cm 提升率/% 一步策略 RMS/cm 提升率/% 3 KUN1 E 2.93 2.54 13.3 1.64 35.4 1.43 1.21 15.4 1.02 15.7 N 9.30 1.76 81.1 1.55 11.9 4.90 1.22 75.1 0.93 23.8 U 68.22 26.18 61.6 19.34 26.1 51.28 30.18 41.1 26.33 12.6 3 SHA1 E 15.08 4.96 67.1 3.20 35.5 5.68 6.47 -13.9 2.27 64.9 N 21.66 9.28 57.2 7.93 14.5 7.68 5.21 32.2 2.13 59.1 U 60.55 39.74 34.4 17.78 55.3 17.74 15.67 11.6 5.14 67.2 3 VACS E 29.61 27.52 7.1 22.58 18.0 16.66 12.33 26.0 7.68 37.7 N 4.44 2.53 43.0 3.98 -57.3 2.06 1.88 8.7 1.65 12.2 U 36.71 18.02 50.9 13.65 24.3 10.95 7.50 31.5 6.66 11.2 3 SGOC E 2.95 2.88 2.4 2.88 0.0 2.84 2.34 17.6 2.09 10.6 N 3.03 2.26 25.4 1.99 11.9 1.68 1.05 37.5 1.05 0.0 U 83.85 68.72 18.0 35.34 48.6 72.55 65.18 10.1 43.74 32.9 从 图9 图9 和 表5 表5 可以看出，BDS-2+BDS-3联合数据处理结果较BDS-2单系统在定位结果以及收敛时间方面均有一定改善，基于多路径延迟的一步建模与修正策略可实现BDS-2+BDS-3联合参数处理中E、N、U方向的定位精度分别提升了10.6%~64.9%、0.0%~59.1%、12.6%~67.2%。 为了进一步说明本文提出的基于先验信息约束的多路径模型构建处理策略参数处理效果，基于BDS-3实时PPP数据处理过程，选取2020年08-08—08-15连续8天的B1I+B3I和B1C+B2a观测数据，分别利用4种策略进行对比分析，即不修正、基于AR模型外推修正（AR）、基于LS+AR两步参数外推修正（两步法）和基于先验信息的LS+AR一步估计修正（一步法）。以BJF1测站为例， 图10 图10 与 图11 图11 分别为BDS-3连续3天B1I+B3I和B1C+B2a实时PPP测站残差序列；连续8天所有测站定位精度及相应的提升率见 表6 表6 。 2 测站 2 方向 5 B1I+B3I 5 B1C+B2a 不处理RMS/cm 两步策略 RMS/cm 提升率/% 一步策略 RMS/cm 提升率/% 不处理RMS/cm 两步策略RMS/cm 提升率/% 一步策略RMS/cm 提升率/% 3 BJF1 E -5.4 -4.0 25.9 -3.9 27.8 -5.6 -4.8 14.3 -4.1 26.8 N -4.0 -2.3 42.5 -1.6 60.0 -4.3 -3.2 25.6 -2.3 46.5 U -17.4 -15.7 9.8 -9.4 45.9 -15.6 -12.7 18.6 -9.2 41.0 3 KNDY E -5.5 -5.5 0.0 -4.3 21.8 -4.7 -4.3 8.5 -3.8 19.1 N -4.0 -1.6 60.0 -1.3 67.5 -4.0 -2.5 37.5 -2.1 47.5 U -20.4 -9.3 54.4 -4.3 78.9 -16.1 -14.9 7.5 -10.3 36.0 3 WUH1 E -4.3 -4.3 0.0 -3.7 13.9 -3.9 -2.6 33.3 -2.6 33.3 N -3.5 -1.6 54.3 -1.3 62.9 -3.9 -2.2 43.6 -1.7 56.4 U -18.3 -10.0 45.4 -4.6 74.9 -15.4 -13.1 14.9 -9.2 40.3 3 XIA1 E -5.2 -1.4 73.1 -1.3 75.0 -5.1 -5.0 1.9 -3.4 33.3 N -5.4 -1.5 72.2 -1.3 75.9 -3.3 -2.8 15.2 -1.6 51.5 U -10.8 -5.8 46.3 -2.8 74.1 -14.2 -13.4 5.6 -10.8 23.9 从 图10 图10 、 图11 图11 和 表6 表6 可以看出，BDS-3较BDS-2+BDS-3联合处理结果有了明显提升，主 要是由于BDS-3观测数据以及轨道钟差产品质量较BDS-2明显提升 ［ 5 5 ］ ，且BDS-3卫星数目以及超快速卫星产品较2019年得到大幅度改善 ［ 4 4 ］ ；需要说明的是，由于无法获取准确的测站定位进行精度对比，实验中采用相应时间段内iGMAS分析中心发布的周解文件中最后一个历元的估计值为参考。实验结果表明，4种多路径处理策略获得的定位结果无明显差别，但基于先验信息约束的一步模型优化策略较传统两步建模策略有一定改进；同时，U方向存在一个明显的系统偏差，可能是由卫星端天线相位中心参数未标定所导致。综上，相较于传统方法中不校正实时PPP中多路径延迟量，本文提出的策略可实现E、N、U方向分别提升13.9%、60.0%、45.9%（B1I+B3I）和19.1%、46.5%、23.9%（B1C+B2a）以上。 3　结　语 1 BDS作为中国科技实力与创新能力的象征，其服务性能是至关重要的指标。本文提出了一种顾及先验信息约束的BDS多路径延迟一步修正模型；对传统的多路径模型构建提出了3点优化：一是基于全变分正则化稀疏建模实现多路径延迟序列的预处理；二是提出一步建模策略，对趋势项与随机项进行一步估计；三是以估计模型参数为先验信息进行实时PPP中多路径模型的 精化处理。同时，本文分别基于BDS-2伪距偏差校正、BDS-2/BDS-3实时PPP过程，对所提优化策略进行充分验证。实验结果表明，BDS-2+BDS-3联合PPP中较传统两步处理策略E、N、U方向的坐标精度分别提升了10.6%~64.9%、0.0%~59.1%、12.6%~67.2%；同时，相较于传统方法（不修正多路径延迟量）中实时PPP，本文所提策略可实现E、N、U方向的坐标精度分别至少提升13.9%、60.0%、45.9%（B1I+B3I）和19.1%、46.5%、23.9%（B1C+B2a）。上述结论表明，本文所提BDS建模与修正优化模型有效可行。多路径作为影响BDS服务的主要误差源之一，快速高精度修正是系统可靠服务的前提。本文仅将多路径序列分解为趋势项与随机项处理，对于未模型化的残差序列尚未深入研究，下一步工作将从机器学习角度，以模型选择、模型参数确定以及模型可靠性为目标，实现BDS-3快速服务条件下的多频观测数据多路径模型进一步精化处理。 参考文献 Yang Y X ， Mao Y ， Sun B J . 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