一种基于GRACE重力卫星的陆地水储量变化组合新模型 A New Combined Terrestrial Water Storage Change Model Based on GRACE Satellite Gravimetry 1 2 first-author 李昭，博士，教授，主要从事高精度卫星定位理论方法研究。 zhao.li@whu.edu.cn 李昭，博士，教授，主要从事高精度卫星定位理论方法研究。 zhao.li@whu.edu.cn zhao.li@whu.edu.cn 1 1 2 1 2 2 3 1 4 武汉大学卫星导航定位技术研究中心，湖北 武汉，430079 武汉大学卫星导航定位技术研究中心，湖北 武汉，430079 GNSS Research Center, Wuhan University, Wuhan 430079, China GNSS Research Center, Wuhan University, Wuhan 430079, China 湖北珞珈实验室，湖北 武汉，430079 湖北珞珈实验室，湖北 武汉，430079 Hubei Luojia Laboratory, Wuhan 430079, China Hubei Luojia Laboratory, Wuhan 430079, China 武汉大学测绘学院，湖北 武汉，430079 武汉大学测绘学院，湖北 武汉，430079 School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079, China School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079, China 江西省自然资源测绘与监测院，江西 南昌，330009 江西省自然资源测绘与监测院，江西 南昌，330009 Jiangxi Natural Resources Surveying, Mapping and Monitoring Institute, Nanchang 330009, China Jiangxi Natural Resources Surveying, Mapping and Monitoring Institute, Nanchang 330009, China 利用重力卫星监测全球水储量变化，有助于应对全球气候变化、防灾减灾等挑战，具有重要的科学意义。国际上已发布了多个系列的重力恢复和气候实验(gravity recovery and climate experiment，GRACE)时变重力场模型，但是不同机构提供的模型之间存在差异，而且精度参差不齐。研究基于不同卫星重力场模型的陆地水储量变化（terrestrial water storage change , TWSC）组合新方法，有利于扬长避短，进一步提高TWSC的估计精度。采用方差分量估计、熵权法和变异系数法，针对5种GRACE时变重力场反演获得的TWSC开展组合研究。结果表明，3种TWSC组合新模型都能够显著减小不同时变重力场反演的TWSC之间的差异，而且信噪比与美国喷气动力实验室模型相比提高了约58%。组合前后全球TWSC趋势最大差异由0.011 cm/月下降到0.001 cm/月，最大水振幅差异由0.95 cm/月减小为0.21 cm/月，1°×1°空间分辨率下TWSC随经纬度方向变化的标准差差异同样由超过20 cm 2 降低到3 cm 2 以下。组合模型与水文模型的相关性较独立模型最高提升了约50%，由此证实了组合方法可以有效地抑制噪声，显著提高TWSC结果的精度，是一种稳定可靠的高精度时变重力场应用新模式，可以为陆地水储量反演等应用研究提供更可靠的数据支撑。 Objectives 2 Satellite gravity field data can be used to monitor global terrestrial water storage changes and address common challenges such as climate change, disaster prevention and mitigation, etc. Several time-variable gravity models derived from gravity recovery and climate experiment (GRACE) mission have been released internationally. However, there are differences between those models provided by different institutions, and the accuracies are also uneven. The combination of terrestrial water storage change (TWSC) based on different satellite gravity field products would help to maximize the strengths and avoid weaknesses, so as to improve the accuracy of TWSC. Methods 2 Variance component estimation, entropy weight method (EWM) and coefficient of variation method are used to carry out the combination analysis on TWSC inverted from five GRACE satellite gravity field models. Results 2 The results show that all the three combined TWSC models can significantly reduce the discrepancies between time-variable gravity field inverted TWSC, and the signal-to-noise ratio has been improved by about 58% compared to Jet Propulsion Laboratory (JPL) model. The maximum difference in global TWSC trends before and after combination decreases from 0.011 cm/month to 0.001 cm/month, while the maximum amplitude difference decreases from 0.95 cm/month to 0.21 cm/month. At a spatial resolution of 1° × 1°, the difference in standard deviation of TWSC at latitude and longitude directions decreases from over 20 cm 2 to less than 3 cm 2 . The correlation between the EWM combined TWSC model and hydrological model also improves by up to about 50% compared with that between the JPL independent model and hydrological model. Conclusions 2 The combined method can effectively suppress noise and significantly improve the accuracy of TWSC results, hence can perform as a new mode for high-precision time-variable gravity field applications to provide more reliable data support for terrestrial water storage inversions. GRACE时变重力场 陆地水储量变化 组合新模型 GLDAS MERRA-Land GRACE time‑variable gravity field terrestrial water storage change combined new model GLDAS MERRA-land 2002年发射升空的重力恢复与气候实验卫星（gravity recovery and climate experiment，GRACE）及后续计划（GRACE follow-on，GRACE-FO）能够连续、快速、大尺度地探测地表质量迁移造成的重力变化，在全球、区域和流域尺度的陆地水储量（terrestrial water storage， TWS）时空变化特征、冰川消融等方面取得了重要进展 ［ 1 1 - 8 8 1-8 ］ 。当前，国际及国内许多权威机构都面向全球用户提供GRACE全球时变重力场模型，如美国的德克萨斯大学空间研究中心（Center for Space Research， University of Texas，CSR）、喷气动力实验室（Jet Propulsion Laboratory， JPL），德国地学研究中心（Helmholtz Centre Potsdam German Research Centre for Geosciences， GFZ），奥地利的格拉茨工业大学大地测量学研究所（Institute of Geodesy at Graz University of Technology， ITSG），中国的同济大学（Tongji）、武汉大学、华中科技大学、西南交通大学等 ［ 9 9 - 13 13 9-13 ］ 。 从理论上讲，基于相同的GRACE观测数据，采用不同重力场恢复方法应获得相同的地球重力场模型，因其均基于牛顿运动方程建立。然而，由于所采用的数据处理模型及策略各异，各种方法具备不同的优势和劣势，且不可避免包括各类误差、噪声的影响，导致基于不同重力场模型反演的全球陆地水储量变化（terrestrial water storage change，TWSC）存在差异，精度参差不齐 ［ 14 14 - 15 15 14-15 ］ ，在应用上则表现为更优解或更差解。如Wang等 ［ 16 16 ］ 和Bibi等 ［ 17 17 ］ 发现根据不同机构的GRACE重力场产品估算海洋质量变化以及澜沧江流域水量变化时存在明显的差异。这说明基于不同GRACE重力场模型反演的TWSC在区域上表现各异，不具备普适性，用户需要根据自身需求及研究区域选择最优的产品进行TWSC反演。 为了更大限度地发挥每种产品的优势，削弱系统误差及噪声，近年来国内外学者开展了组合重力场的研究。在国际上，Meyer等 ［ 18 18 ］ 和Peter等 ［ 19 19 ］ 根据方差分量估计法评估的噪声水平针对不同机构提供的GRACE月重力场模型进行组合，并在国际地球重力场模型中心（International Centre for Global Earth Models，ICGEM）发布了时变重力场综合服务（combination service for time-variable gravity field solutions， COST-G），结果表明，90%的组合产品质量与原始产品一样好甚至更好，由此证实了多源产品组合可以提高结果的可靠性。在此基础上，该研究团队利用COST-G与CSR、ITSG以及GFZ的重力场数据监测格陵兰岛流域水量变化的时间序列，发现COST-G结果的噪声水平最低。在国内，钟波等 ［ 20 20 ］ 和周浩等 ［ 21 21 ］ 利用CHAMP（challenging mini-satellite payload for geophysical research and application）、GRACE和GOCE（gravity field and steady-state ocean circulation explorer）等不同卫星重力计划的互补优势，分别通过最小二乘联合平差法（least squares joint adjustment，LSJA）和最小二乘谱组合法（least squares spectral combination，LSSC）实现了基于多类重力数据的高精度高分辨率地球重力场联合反演，但是目前尚无利用不同GRACE卫星重力场模型建立组合陆地水储量模型的研究。 除COST-G外，当前理论最完善、应用最广泛、精度最高的国际地球参考框架（international terrestrial reference frame， ITRF）同样基于组合方法建立。其中，作为建立ITRF输入数据源之一的GNSS坐标时间序列，是针对不同IGS分析中心（JPL、GFZ、麻省理工学院（Massachusetts Institute of Technology，MIT）等）提供的产品，采用方差分量估计等方法进行技术内组合得到 ［ 22 22 - 25 25 22-25 ］ ，和COST-G的原理一致。这些成功的应用都证实了组合方法的必要性、可行性及有效性。因此，本文拟通过选取CSR、GFZ、JPL、ITSG及Tongji 5家权威机构提供的GRACE卫星重力场模型反演全球陆地水储量变化，采用方差分量估计（variance component estimation，VCE）、熵权法（entropy weight method，EWM）和变异系数法（coefficient of variation method，CVM）3种客观定权方法确定不同机构产品反演TWSC的权重，建立TWSC组合新模型，并利用全球陆地数据同化系统（global land data assimilation system，GLDAS）、现代研究和应用回顾性分析产品（land surface data product of the modern-era retrospective analysis for research and applications，MERRA-Land）两种水文模型评估其全球及区域应用效果。成果有助于扬长避短，降低相较于单个产品的噪声水平，更加充分地利用现有时变重力场产品，为水文应用提供更可靠的基础数据。 1　研究数据与处理方法 1 1.1　GRACE卫星重力场模型及陆地水储量变化反演 2 GRACE数据分为Level-0、Level-1A/1B及Level-2等级别。其中，Level-1B和Level-2是已知公开的数据，Level-0暂不对外公布 ［ 26 26 ］ 。所有机构提供的GRACE产品都属于Level-2级别，根据Level-1B产品进行处理得到，主要包括GRACE卫星精密轨道数据、地球重力场球谐系数、GPS信号延迟/折射率数据 ［ 27 27 - 28 28 27-28 ］ 。本文选取国际上应用最广泛的CSR、GFZ、JPL、ITSG及Tongji 5家权威机构提供的GRACE时变重力场模型反演全球TWSC，建立TWSC组合新模型。选取的重力场产品时间跨度为2003-01—2014-11，空间分辨率为1°×1°，时间分辨率为月。每个机构提供的产品都会存在个别月份数据缺失的现象，本文直接舍弃，不对其进行补充。利用GRACE时变重力场模型反演陆地水储量变化，计算公式为： <math display="block" id="M1"><mo>∆</mo><mi>H</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mi>φ</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>R</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">α</mi><mi mathvariant="normal">ν</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>w</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mi>Ρ</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>θ</mi></mrow></mfenced><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>l</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mo>∆</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mi>φ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo>∆</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mi>φ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfenced></mrow></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079461&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079459&type= 123.61333466 8.80533314 式中，∆ H（θ，φ） 为等效水高； R 为地球赤道半径； θ 和 φ 分别为待定点的余纬和经度； <math id="M2"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">α</mi><mi mathvariant="normal">υ</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079470&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079465&type= 4.91066647 4.57200003 为地球的平均密度，取值为5 517 <math id="M3"><mi mathvariant="normal">k</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>/</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079475&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079472&type= 9.56733322 4.14866638 ； <math id="M4"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>w</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079478&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079485&type= 3.80999994 4.57200003 为水密度； <math id="M5"><msub><mrow><mover accent="true"><mi>Ρ</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079481&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079479&type= 4.82600021 4.14866638 为归一化缔合勒让德函数； <math id="M6"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079499&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079498&type= 6.09600019 3.72533321 为平滑函数； <math id="M7"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079502&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079493&type= 2.45533323 3.72533321 是 <math id="M8"><mi>l</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079516&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079506&type= 1.26999998 2.79399991 阶负荷勒夫数； <math id="M9"><mo>∆</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079521&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079519&type= 7.61999989 4.06400013 和 <math id="M10"><mo>∆</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079525&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079523&type= 7.19666624 4.06400013 为无量纲地球重力场球谐系数的时变量或变化； <math id="M11"><mi>l</mi><mi>、</mi><mi>m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079511&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079528&type= 5.67266655 3.04800010 分别表示 <math id="M12"><mo>∆</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079543&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079532&type= 7.61999989 4.06400013 和 <math id="M13"><mo>∆</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079538&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079535&type= 7.19666624 4.06400013 的阶和次 ［ 29 29 - 30 30 29-30 ］ 。 1.2　水文模型 2 1.2.1　GLDAS 3 美国国家宇航局提供的GLDAS包括两个版本：GLDAS-1和GLDAS-2，分别提供不同时空分辨率、不同模型下的数据产品，包括地表径流、气温、冠层水、蒸散发、土壤湿度、雪水当量、降水等，广泛应用于水文负载造成的地表位移变化研究、GRACE反演陆地水储量结果验证及地下水储量变化推演等科学应用 ［ 31 31 - 32 32 31-32 ］ 。考虑GLDAS-2相比于GLDAS-1的优势，并且与GRACE产品保持相同的时空分辨率，本文选取空间分辨率为1°×1°、时间分辨率为月的GLDAS-2雪水当量及土壤湿度数据，时间跨度为2003-01—2014-11。 1.2.2　MERRA-Land 3 MERRA-Land采用了最先进的GEOS-5数据同化系统，着重于在不同时间尺度上对水文循环进行历史分析，提供了蒸散发、土壤湿度、雪水当量、降水等产品。本文采用MERRA-Land数据空间分辨率为0.5°×0.625°的雪水当量及土壤水湿度数据，时间分辨率为月，时间跨度为2003-01—2014-11。 1.3　组合TWSC建模方法 2 本文采用VCE、EWM和CVM 3种方法，首先针对不同机构时变重力场模型反演获得的TWSC权阵进行确定，然后根据确定的权重矩阵对独立重力场模型反演的TWSC进行组合，建立组合TWSC新模型。 1.3.1　VCE 3 VCE首先对5种重力场模型反演的全球TWSC时间序列进行初始定权，采用最小二乘方法进行预平差；然后依据一定原则，利用平差得到的观测值改正数迭代观测量估值的方差，直至各重力场模型的单位权中误差相等 ［ 33 33 ］ 。 对于 <math id="M14"><mn mathvariant="normal">5</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079559&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079541&type= 1.86266661 2.79399991 种模型的观测值，相应的误差方程为： <math display="block" id="M15"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">V</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">X</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">L</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">V</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">X</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">L</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋮</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">V</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">X</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">L</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079563&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079562&type= 25.90800095 19.13466644 式中， <math id="M16"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079552&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079549&type= 28.02466965 3.97933316 为 <math id="M17"><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>×</mo><mi>m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079566&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079564&type= 10.32933331 3.72533321 的设计矩阵； <math id="M18"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">L</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079581&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079555&type= 3.30200005 3.72533321 为 <math id="M19"><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079573&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079571&type= 9.39799976 3.72533321 观测向量； X 为平差向量； <math id="M20"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">V</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079577&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079575&type= 3.72533321 3.80999994 为对应于 <math id="M21"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">L</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079581&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079555&type= 3.30200005 3.72533321 的残差向量； <math id="M22"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">L</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079619&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079603&type= 3.30200005 3.72533321 的先验权阵为 <math id="M23"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079591&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079584&type= 3.72533321 3.72533321 ， <math id="M24"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079594&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079592&type= 3.72533321 3.72533321 ， <math id="M25"><mo>⋯</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079598&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079596&type= 3.97933316 2.79399991 ， <math id="M26"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079601&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079600&type= 3.72533321 3.72533321 ，并且假设 <math id="M27"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">L</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079619&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079603&type= 3.30200005 3.72533321 和 <math id="M28"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">L</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">5</mn><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079604&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079622&type= 36.74533463 4.82600021 独立。使得： <math display="block" id="M29"><mi mathvariant="bold-italic">A</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo>⋮</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd/><mtd/><mtd/></mtr><mtr><mtd/><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd><mtd/><mtd/></mtr><mtr><mtd/><mtd/><mtd><mo>⋱</mo></mtd><mtd/></mtr><mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079626&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079624&type= 51.98533249 18.96533203 观测方程的法方程为： <math display="block" id="M30"><mi mathvariant="bold-italic">N</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mi mathvariant="bold-italic">A</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079630&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079628&type= 40.38600159 4.40266657 方差分量估计值的计算式为： <math display="block" id="M31"><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>≠</mo><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079606&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079632&type= 116.07800293 9.05933285 式中， <math id="M32"><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079635&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079607&type= 2.62466669 3.72533321 为第 <math id="M33"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079807&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079803&type= 1.10066664 2.79399991 类观测值的个数 <math id="M34"><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079612&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079638&type= 23.96066666 3.97933316 ； <math id="M35"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079642&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079613&type= 3.89466691 3.80999994 为对应的法矩阵； <math id="M36"><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079646&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079644&type= 6.34999990 3.13266683 为总法矩阵的逆；tr（）为求迹过程。 权重计算式为： <math display="block" id="M37"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold">T</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079649&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079614&type= 35.56000137 9.82133293 1.3.2　EWM 3 EWM的基本思路是根据指标变异性的大小确定客观权重。一般而言，若某个指标的熵值越小，表明该指标值的信息量越多，评价中所起的作用越大，其权重也就越大，反之则权重越小 ［ 34 34 ］ 。 EWM首先对5种重力场模型反演的全球TWSC时间序列进行无量纲化处理，得到归一化数值；然后根据信息论确定信息熵，计算各个指标的信息熵，通过信息熵确定各指标的熵值权重，计算式为： <math display="block" id="M38"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">113</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079652&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079615&type= 16.67933464 14.13933277 <math display="block" id="M39"><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mn mathvariant="normal">113</mn></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">113</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>⋅</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079655&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079654&type= 36.74533463 9.05933285 <math display="block" id="M40"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn><mo>-</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079664&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079656&type= 23.36800003 13.63133430 式中， <math id="M41"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079666&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079665&type= 3.55599999 3.72533321 为第 <math id="M42"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079807&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079803&type= 1.10066664 2.79399991 （ <math id="M43"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">5</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079679&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079668&type= 20.99733353 3.21733332 ）个机构重力场模型反演的全球TWSC时间序列中第 <math id="M44"><mi>j</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079724&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079723&type= 1.60866666 3.64066648 （ <math id="M45"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">113</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079673&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079682&type= 25.14599991 3.64066648 ）个月的数据； <math id="M46"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079686&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079684&type= 3.13266683 4.57200003 为第 <math id="M47"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079807&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079803&type= 1.10066664 2.79399991 个机构重力场模型反演的全球TWSC时间序列中第 <math id="M48"><mi>j</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079724&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079723&type= 1.60866666 3.64066648 个月的数据占该时间序列的比重； <math id="M49"><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079694&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079693&type= 2.62466669 3.72533321 为时间序列中第 <math id="M50"><mi>j</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079724&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079723&type= 1.60866666 3.64066648 个月的信息熵； <math id="M51"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079771&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079760&type= 3.72533321 3.72533321 为根据模型获得的第 <math id="M52"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079807&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079803&type= 1.10066664 2.79399991 个TWSC熵值权重。 1.3.3　CVM 3 CVM依据不同重力场模型反演的全球TWSC时间序列在所有评价对象上的变化程度，来判断各个评价对象达到指标平均水平的难易程度，进而对其赋权。 参评样本为5组时变重力场模型反演的全球TWSC时间序列，每个TWSC时间序列共有113个月作为指标， <math id="M53"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079703&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079716&type= 4.06400013 3.72533321 为第 <math id="M54"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079807&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079803&type= 1.10066664 2.79399991 个机构重力场模型反演的全球TWSC时间序列中第 <math id="M55"><mi>j</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079724&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079723&type= 1.60866666 3.64066648 个月的数据，各机构指标的均值 <math id="M56"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079720&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079725&type= 3.55599999 3.72533321 和标准差 <math id="M57"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079730&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079728&type= 2.96333337 3.72533321 的计算式分别为： <math display="block" id="M58"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">113</mn></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">113</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">113</mn></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">113</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mrow/></mroot></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079739&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079731&type= 41.90999985 21.92866707 各指标的变异系数 <math id="M59"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079758&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079757&type= 3.80999994 3.80999994 的计算式为： <math display="block" id="M60"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079747&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079754&type= 12.69999981 8.38199997 对 <math id="M61"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079758&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079757&type= 3.80999994 3.80999994 作归一化处理，由此得到各指标的权重值 <math id="M62"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079771&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079760&type= 3.72533321 3.72533321 计算式为： <math display="block" id="M63"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mo>/</mo><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079762&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079773&type= 23.11400032 8.97466660 1.3.4　组合TWSC新模型 3 根据上述3种模型，分别确定基于5种时变重力场的TWSC权重矩阵，将每种产品的TWSC乘以相应的权重并进行累加，即可得到组合TWSC新模型，计算式为： <math display="block" id="M64"><mi>G</mi><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079777&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079765&type= 23.45266724 8.55133343 式中， <math id="M65"><mi>G</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079780&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079767&type= 2.87866688 2.79399991 为组合新模型； <math id="M66"><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079800&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079782&type= 2.70933342 4.31799984 为根据第 <math id="M67"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079807&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079803&type= 1.10066664 2.79399991 个机构提供的时变重力场模型反演获得的TWSC。 2　结果分析与讨论 1 2.1　基于不同GRACE卫星重力场模型反演的TWSC差异 2 Boergens等 ［ 35 35 ］ 发现不同机构的GRACE重力场产品采用相同的数据处理策略估算TWSC时存在明显的差异。为了量化其差异大小及空间分布特征，本文利用5家机构的重力场数据，按照 式（1） 式（1） ，采用统一的数据处理策略反演2003—2014年全球TWSC。由于本文的研究目的在于描述基于GRACE卫星重力场的独立TWSC模型及组合TWSC新模型随时间或经纬度的差异，因此仅着重于分析不同结果序列的长期变化趋势、周期及幅值的数值变化，而没有对其产生的原因及物理意义进行细致的研究和探讨。 图1 图1 为不同机构的GRACE重力场产品反演得到的全球月平均TWSC时间序列。总的来说，5家重力场产品反演的TWSC在变化趋势以及周期性上表现出很好的一致性，但是也存在着不同程度的差异。其中，CSR与ITSG间的变化趋势差异最大，达0.011 cm/月。不同模型之间的波峰与波谷也存在差异，最大差异处ITSG与GFZ的陆地水储量变化可达0.95 cm/月，如 图1 图1 黑色虚线框所示，这种差异可能会直接影响水储量变化研究结果的精度。 图2 图2 为基于GRACE卫星重力场产品反演获得的2003—2014年间TWSC在不同经度处随纬度变化的标准差（ 图2 图2 （a））以及在不同纬度处随经度变化的标准差（ 图2 图2 （b）），其中不同颜色线代表1~113个月的TWSC标准差，空间分辨率为1°×1°。由 图2 图2 可以看出，由于GRACE卫星重力场数据的空间分辨率较低，导致小尺度区域反演的TWSC精度较差。如 图2 图2 中的黑色虚线框所示，JPL模型反演得到的TWSC模型在 <math id="M68"><mn mathvariant="normal">0</mn><mo>°</mo><mo>~</mo><mn mathvariant="normal">30</mn><mo>°</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079790&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079789&type= 10.92199993 3.04800010 N、 <math id="M69"><mn mathvariant="normal">0</mn><mo>°</mo><mo>~</mo><mn mathvariant="normal">34</mn><mo>°</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079793&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079791&type= 10.92199993 3.04800010 S以及 <math id="M70"><mn mathvariant="normal">0</mn><mo>°</mo><mo>~</mo><mn mathvariant="normal">150</mn><mo>°</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079869&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079873&type= 12.78466606 3.04800010 E、 <math id="M71"><mn mathvariant="normal">95</mn><mo>°</mo><mi mathvariant="normal">W</mi><mo>~</mo><mn mathvariant="normal">140</mn><mo>°</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079831&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079822&type= 18.28800011 3.13266683 W区域与其他模型的结果存在较大的差异，标准差显著高于其余4家机构，最小差异约为10 <math id="M72"><mi mathvariant="normal">c</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079894&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079881&type= 5.67266655 3.04800010 ，最大差异可达约20 <math id="M73"><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">c</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079837&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079835&type= 6.43466663 3.13266683 ，表明在局部区域JPL反演TWSC的精度低于其他4家机构。由此看出，即使采用完全相同的反演方法，根据JPL或者其他几个机构的产品研究这些区域的陆地水储量变化，可能会得出截然不同的结论。为了消除这些差异，针对现有的重力场模型反演结果进行科学的组合，得到适用范围更广、精度更高的组合新模型十分必要，其结果可能为陆地水储量变化研究提供更可靠的研究资料。 2.2　基于GRACE重力卫星的组合TWSC新模型 2 为了研究组合方法的可行性，本文分别采用VCE、EWM、CVM对不同机构的GRACE卫星重力场数据反演的TWSC进行定权，建立组合TWSC新模型。 图3 图3 显示了2003—2014年基于5种GRACE时变重力场模型获得的全球月平均组合TWSC时间序列。对比 图1 图1 可以看出，3种组合TWSC新模型均能有效反映TWSC的周期性变化，各组合TWSC新模型的波峰、波谷以及变化趋势稳定性也得到了显著改善。其中，如 图1 图1 和 图3 图3 黑色虚线框所示，组合模型间的变化趋势最大差异由组合前CSR与ITSG之间的0.011 cm/月降低到组合后VCE与EWM之间的0.001 cm/月，最大TWSC振幅差异由组合前ITSG与GFZ之间的0.95 cm/月，减小到组合后EWM与VCE之间的0.211 cm/月。由此可见，组合TWSC新模型在大尺度范围上能够显著降低不同模型间的差异。 图4 图4 为3种基于GRACE时变重力场的组合TWSC新模型2003—2014年全球TWSC在不同经度处随纬度变化的标准差（ 图4 图4 （a））以及在不同纬度处随经度变化的标准差（ 图4 图4 （b）），其中不同颜色线代表1~113个月的TWSC标准差，空间分辨率为1°×1°。对比 图4 图4 和 图2 图2 可以看出，3种组合TWSC新模型在纬度与经度上的标准差变化都趋于稳定，且 图2 图2 黑色虚线框显示的JPL模型在 <math id="M74"><mn mathvariant="normal">0</mn><mo>°</mo><mo>~</mo><mn mathvariant="normal">30</mn><mo>°</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079854&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079861&type= 10.92199993 3.04800010 N、 <math id="M75"><mn mathvariant="normal">0</mn><mo>°</mo><mo>~</mo><mn mathvariant="normal">34</mn><mo>°</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079857&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079865&type= 10.92199993 3.04800010 S、 <math id="M76"><mn mathvariant="normal">0</mn><mo>°</mo><mo>~</mo><mn mathvariant="normal">150</mn><mo>°</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079869&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079873&type= 12.78466606 3.04800010 E、 <math id="M77"><mn mathvariant="normal">95</mn><mo>°</mo><mi mathvariant="normal">W</mi><mo>~</mo><mn mathvariant="normal">140</mn><mo>°</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079879&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079877&type= 18.28800011 3.13266683 W区域的显著差异消失了，最大差异由组合前超过20 <math id="M78"><mi mathvariant="normal">c</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079894&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079881&type= 5.67266655 3.04800010 降低到3 <math id="M79"><mi mathvariant="normal">c</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079894&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079881&type= 5.67266655 3.04800010 以下。该现象证实了组合TWSC新模型可以有效地抑制甚至消除噪声。需要说明的是，文献［ 36 36 - 37 37 36-37 ］表明JPL模型的精度和可靠性与其他机构模型的差异较小，在有些区域的性能甚至比其他模型更优。然而， 图2 图2 却显示JPL模型与其他模型之间的差异显著，且相较于其他模型，在局部范围内反演TWSC的效果较差。这是由于本文的研究目的在于评估基于 GRACE卫星重力的水文模型组合方法的可行性，因此针对组合前所有独立重力场模型都采用了相同的数据处理策略，如300 km的高斯滤波、去相关滤波P4M15等。鞠晓蕾等 ［ 38 38 ］ 和郭飞霄等 ［ 39 39 ］ 的研究表明，采用相同的处理方法获得的结果差异源于不同机构模型本身的差异，消除这些差异需要采用相应的数据处理策略，针对JPL模型P5M11去条带误差的效果比较好。由此可以推测，JPL与其他模型反演获得的TWSC差异较大，可能是由于本文针对所有独立模型采用同种滤波方法，且该滤波方法不适用于JPL模型造成的。基于卫星重力场的组合TWSC新模型可以降低对滤波方法的依赖，并且有效地消除不同机构产品之间由于条带误差或数据处理模型及策 略造成的差异，能够在不同尺度范围内为使用者提供更加准确的陆地水储量反演结果。 图5 图5 描述了根据3种基于GRACE时变重力场的组合TWSC新模型2003—2014年间全球TWSC速率空间分布。由 图5 图5 可以看出，3种组 合TWSC新模型具有非常好的一致性。与原始重力场模型反演结果相比，海洋与陆地的界限更加明显，条带噪声等系统误差对TWSC的影响显著降低，进一步证实了组合TWSC新模型能够抑制条带噪声的结论。 在 图5 图5 中，本文选取国内外5处热点研究区域进行分析，其中 A 为中国华北地区， B 为中国西北地区， C 为亚马逊流域， D 为中国长江流域， E 为格陵兰岛。3种组合TWSC新模型在中国华北地区（区域 A ）的TWSC表现为下降趋势，速率分别为0.052 9 cm/月（VCE）、0.052 4 cm/月（EWM）、0.053 0 cm/月（CVM）；在亚马逊流域（区域 C ）与中国长江流域（区域 D ）的TWSC都表现为上升趋势，速率分别为0.048 1 cm/月和0.037 1 cm/月（VCE）、0.048 3 cm/月和0.036 9 cm/月（EWM）、0.048 4 cm/月和0.036 7 cm/月（CVM），与文献［ 26 26 ， 40 40 - 43 43 40-43 ］的结论一致；在中国西北地区（区域 B ）的TWSC呈现下降趋势，速率分别为0.014 2 cm/月（VCE）、0.015 6 cm/月（EWM）、0.015 7 cm/月（CVM），与文献［ 44 44 ］的研究成果一致；在格陵兰岛地区（区域 E ）的TWSC同样呈现下降趋势，速率分别为0.111 3 cm/月（VCE）、0.110 7 cm/月（EWM）、0.110 9 cm/月（CVM），与文献［ 45 45 - 46 46 45-46 ］的研究成果一致。综上可知，组合TWSC新模型具有较强的适用性，能够为用户研究不同区域的陆地水储量变化提供可靠的数据支持。 2.3　组合TWSC新模型精度评估 2 2.3.1　基于GRACE重力场的组合前后TWSC与水文模型对比分析 3 上述研究证实了组合TWSC新模型能够抑制噪声，在不同尺度上相对原始模型都有很好的改进，而且具有较强的全球适用性。为了评估其外符合精度，本文选取GLDAS与MERRA-Land两种水文模型数据反演全球TWSC，并与利用GRACE卫星重力建立的组合前后TWSC模型进行对比分析。由于GLDAS模型缺失60°S~90°S的数据，为了保证数据的一致性，组合前后TWSC模型也扣除了60°S~90°S的数据。需要注意的是，GRACE反演获得的是包括地表水、土壤水、地下水等在内的全部陆地水储量变化，与本文采用的GLDAS-2及MERRA-Land水文模型反映的不是同一种信号源，本质上属于整体与部分的关系。利用两者之间的相关性可以作为评估TWSC模型有效性的标准，但是其绝对数值没有参考意义，即组合TWSC新模型与水文模型之间的相关系数提高，可以认为基于重力场模型的组合TWSC新模型较独立模型更优，但并不能说明该模型的绝对精度。 基于GRACE时变重力场的组合前后TWSC与两种水文模型2003—2014年全球月平均TWSC如 图6 图6 所示，其相关性如 表1 表1 所示。由 图6 图6 可以看出，基于时变重力场模型与两种水文模型反演的全球TWSC在周期性上有较好的一致性，并且波峰与波谷出现的时刻也非常一致。尽管如此，组合前后的结果仍然具有较为明显的差异。如 图6 图6 黑色虚线框所示，3种基于时变重力场模型的组合TWSC新模型较原始模型的一致性显著提高，而且与水文模型的反演结果更为接近。就相关性而言，CSR、GFZ与两种水文模型之间的相关性最高（0.8），ITSG、Tongji次之（0.7），JPL最差（0.4），与 图2 图2 分析结论一致，即JPL反演的TWSC与其他模型存在较大差异。采用本文方法得到的3种基于重力场模型的组合TWSC新模型与水文模型之间的相关性较JPL显著提高，而且十分接近（0.7~0.8）。因此，笔者认为，基于GRACE时变重力场的组合TWSC新模型不仅可以显著提高TWSC结果的精度，而且具有较强的稳定性，能够为用户提供更优的全球应用数据。 模型产品 GLDAS MERRA-Land CSR 0.8 0.8 GFZ 0.8 0.8 ITSG 0.7 0.7 JPL 0.4 0.4 Tongji 0.7 0.7 EWM 0.8 0.8 CVM 0.8 0.7 VCE 0.8 0.7 2.3.2　组合前后TWSC模型信噪比分析 3 由于GRACE测量误差在陆地和海洋上大致处于同一水平，陆地水量变化信号强于海洋，本文根据Chen等 ［ 30 30 ］ 提出的根据陆地与海洋信噪比最大为准则，计算反演结果的信噪比值，计算式为： <math display="block" id="M80"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>R</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>E</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>R</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>o</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>E</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079933&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079923&type= 26.75466537 9.65200043 式中， <math id="M81"><mi>R</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079927&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079926&type= 2.79399991 2.79399991 表示均方根误差（root mean square， RMS）； <math id="M82"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079938&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079929&type= 3.38666677 3.72533321 、 <math id="M83"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>o</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079943&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079941&type= 3.72533321 3.72533321 分别为重力场模型反演的陆地、海洋区域的陆地水储量变化； E 为通过文献［ 47 47 ］的 方法估算获得的GRACE测量误差； <math id="M84"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079947&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45079945&type= 3.72533321 3.72533321 为模型结果的信噪比值。 为了对各独立模型及组合模型的噪声水平进行分析，本文计算了基于卫星重力场的组合前后全球区域TWSC模型信噪比值以及海洋区域TWSC的RMS，结果如 表2 表2 所示。由 表2 表2 可以看出，组合前的信噪比值存在明显差异，最大为GFZ的（约3.32）、最小为JPL的（1.83），VCE、CVM及EWM组合模型的信噪比（约2.89）较JPL（1.83）模型的提高了约58%。JPL模型的噪声明显高于其他模型，而组合模型噪声水平相同（约为0.04），较JPL模型的削弱了50%，由此进一步证实了TWSC组合方法不仅能够最大程度地保留独立模型的有效信号，而且能够消除模型间的显著差异。从目前的RMS结果来看，组合模型与CSR、GFZ等独立产品反演获得的TWSC相比表现并非最优，用户可以直接选择CSR、GFZ产品进行应用。笔者推测，这是由于目前采用的组合方法比较粗略导致的，如针对所有GRACE模型采用统一的数据处理策略以获取TWSC，但是并未考虑各GRACE模型自身的特点。后续研究中笔者将针对组合方法进行完善，以期能够为用户提供一种最优的选择。 模型 信噪比 海洋区域RMS/(cm·a －1 ) CSR 2.93 0.04 GFZ 3.32 0.03 ITSG 2.90 0.04 JPL 1.83 0.08 Tongji 2.87 0.04 EWM 2.89 0.04 CVM 2.89 0.04 VCE 2.89 0.04 3　结　语 1 随着卫星重力计划的实施和观测数据的积累，国际及国内许多权威机构都面向全球用户提供了GRACE全球卫星重力场模型。然而，由于不同机构采用的重力场恢复方法各异，各有优劣势，而且所采用的数据处理模型及策略也不尽相同，导致现有的GRACE时变重力场模型之间存在差异，精度参差不齐，应用于全球及区域TWSC研究时不具备普适性。本文分别采用VCE、EWM和CVM 3种方法，利用CSR、GFZ、JPL、ITSG及Tongji 5家机构提供的GRACE时变重力场产品建立了TWSC组合的新模型。研究结果表明，基于GRACE时变重力场的组合前后TWSC全球平均速率差异由0.011 cm/月下降为0.001 cm/月，最大水柱高差异由0.95 cm减小为0.21 cm，1°×1°空间分辨率尺度下，随经纬度方向变化的标准差差异由超过20 cm 2 （JPL）降低到3 cm 2 以下。而且，3种组合TWSC新模型均能够准确地捕捉TWSC信号，在跨度较大的局部区域，例如中国华北、西北地区以及亚马逊流域，都有较好的应用效果，证实了组合TWSC新模型可以扬长避短，有效地抑制甚至消除噪声，具备较强的全球适用性，能够在不同尺度范围内为使用者提供更加准确的陆地水储量反演结果。 通过与GLDAS、MERRA-Land两种水文模型反演获得的全球TWSC对比发现，3种组合TWSC新模型与水文模型之间的相关性十分接近（0.7~0.8），较JPL模型（0.4）的显著提高，并且3种组合TWSC新模型信噪比较JPL模型的提高了约58%，进一步证实了TWSC组合新模型能够减小模型的噪声影响，基于不同机构时变重力场的组合TWSC新模型是一种稳定可靠的高精度卫星重力场应用新模式，可以为TWSC反演等应用研究提供更可靠的基础数据支撑。在后续研究中，笔者将引入降雨量、GPS站点时间序列产品等其他数据，进一步评估基于卫星重力场的组合TWSC新模型的精度及应用效果。 参考文献 Wahr J ， Molenaar M ， Bryan F . 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