天问一号拓展任务对火星低阶重力场解算的潜在贡献分析 Potential Contribution of Tianwen-1 Extended Mission to Mars Low-Order Gravity Field 1 2 3 first-author 刘山洪，博士，助理研究员，主要从事行星探测器精密定轨、行星历表解算研究。shanhongliu@whu.edu.cn 刘山洪，博士，助理研究员，主要从事行星探测器精密定轨、行星历表解算研究。shanhongliu@whu.edu.cn shanhongliu@whu.edu.cn 1 corresp 鄢建国，博士，教授。jgyan@whu.edu.cn 鄢建国，博士，教授。jgyan@whu.edu.cn jgyan@whu.edu.cn 4 1 1 1 1 武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室,湖北 武汉,430079 武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室,湖北 武汉,430079 State Key Laboratory of Information Engineering in Surveying, Mapping and Remote Sensing, Wuhan University, Wuhan 430079, China State Key Laboratory of Information Engineering in Surveying, Mapping and Remote Sensing, Wuhan University, Wuhan 430079, China 航天飞行动力学技术重点实验室,北京,100094 航天飞行动力学技术重点实验室,北京,100094 National Key Laboratory of Science and Technology on Aerospace Flight Dynamics, Beijing 100094, China National Key Laboratory of Science and Technology on Aerospace Flight Dynamics, Beijing 100094, China 北京航天飞行控制中心,北京,100094 北京航天飞行控制中心,北京,100094 Beijing Aerospace Control Center, Beijing 100094, China Beijing Aerospace Control Center, Beijing 100094, China 卫星导航系统与装备技术国家重点实验室,河北 石家庄,050081 卫星导航系统与装备技术国家重点实验室,河北 石家庄,050081 State Key Laboratory of Satellite Navigation System and Equipment Technology, Shijiazhuang 050081, China State Key Laboratory of Satellite Navigation System and Equipment Technology, Shijiazhuang 050081, China 天问一号是中国首次独立开展的行星际探测任务，实现了对火星的环绕、着陆、巡视探测。天问一号正常科学任务阶段环绕以极轨设计为主，与历史火星任务类似，对当前火星重力场模型精度改进有限，因此其拓展任务轨道选取至关重要。通过对极轨圆轨道和近赤道大偏心率轨道进行仿真模拟，分析两种典型轨道构型对现有火星重力场模型改进的可能性，基于不同误差考量仿真解算了对应6个重力场模型。借助重力场功率谱分析，发现在测量噪声为0.1 mm/s的情况下，不论采用极轨还是近赤道轨道，一个月的跟踪数据均可较好地反演出42阶次的火星重力场模型；考虑综合误差影响之后，发现两种轨道对于重力场解算精度类似，其中实施近赤道大偏心率轨道对35阶次以上约束略强。 Objectives 2 Tianwen-1 is the first independent interplanetary mission of China, and it was launched on 23 July 2020 and delivered directly into the Earth-Mars transfer orbit, which arrived at Mars in February 2021. It will complete orbiting, landing, and roving tasks in one operation. Exploiting tracking data from gathered during this science exploration and extended mission, this paper explores possible ways to improve the Mars gravity field model by simulation. Methods 2 We designed two types of orbits, including the polar orbits with near zero eccentricity and the near equatorial orbit with large eccentricity. Based on these two types of orbits, we recovered six gravity solutions considering various error sources, such as measurement noise, solar pressure error, rotation model error, and tracking time length. We used the power spectrum method to analyze and evaluate these recovered gravity models. Results 2 We find that a month of tracking data from the polar orbit or the combined polar and near equatorial orbit could be used to properly reconstruct the Mars gravity field model with orders and degrees of 42 under the 0.1 mm/s measurement noise. When 10% solar pressure error is added, the gravity model solution only suffers a slight influence showing in the power spectrum analysis. Furthermore, when Mars rotation model error is added, the degree variances of gravity models are affected only after the 35-order and degree. Conclusions 2 The results show that considering the influence of comprehensive error, the accuracy of gravity field solutions of the two types of orbits is similar. Nevertheless, the orbit with large eccentricity near the equator has a slightly stronger constraint on more than 35-order and degree coefficients. Besides, when the track tracking data collected from the near equatorial orbit phase are added in the recovering of Mars gravity model, the proposed model can improve the precise orbit determination accuracy of a spacecraft with near-equatorial orbit. 火星重力场 GGM-3 功率谱 天问一号 Mars gravity field model GGM-3 power spectrum Tianwen-1 火星是地球的邻居，探测火星对人类理解火星和整个太阳系均具有极其重要的科学意义 ［ 1 1 ］ 。自20世纪60年代以来，人类已探索火星40余次，积累了大量的火星探测数据 ［ 2 2 - 4 4 2-4 ］ 。中国深空探测计划稳步推进，2016年中国政府发布火星探测任务具体方案，提出2020年发射自主火星探测器，完成绕、落、巡三大目标 ［ 5 5 ］ 。2020年7月的火星探测窗口一度成为近十年来人类火星探测器发射的高峰期，阿联酋希望号、中国天问一号和美国毅力号相继发射 ［ 5 5 - 7 7 5-7 ］ 。天问一号主要包括3部分，轨道器用于环绕火星观测和维持祝融号火星车与地球中继通信，着陆器用于登陆火星，火星车进行巡游和就位探测 ［ 5 5 ］ 。天问一号携带约13种科学载荷，将对火星形态、地质、矿物、空间环境（包括太阳风、大气、磁层和电离层）、土壤、水冰分布和内部结构等进行全面测量和观测 ［ 5 5 ］ 。 火星重力场是火星探测中的关键科学问题之一，是研究火星壳幔弹性厚度、内部结构、热演化史等必不可少的重要工具 ［ 8 8 - 9 9 8-9 ］ 。火星探测器射电跟踪数据是火星重力场解算的最佳数据之一，火星重力场研究始于Mariner系列任务，文献［ 10 10 ］加入Mariner 9、VikingOrbit等探测器的数据，将火星重力场解算阶次提升到50×50，得到火星重力场模型GMM-1。近圆极轨道探测器MGS（Mars global surveyor）和ODY（Mars odyssey）的成功实施，获取了更加丰富的射电跟踪数据，文献［ 11 11 ］融入以上历史数据，解算了80×80阶次的重力场模型GMM-2B，其中截断至60阶次的大地水准面误差约为1.8 m。根据近圆轨道探测器MRO（Mars reconnaissance orbiter）和大偏心率极轨探测器Mars Express积累的数据，文献［ 12 12 - 14 14 12-14 ］已经解算了MGS95J、MRO110B、MRO110B2、MRO110C和120阶次的MRO120D模型。文献［ 15 15 ］借助激光测高数据MOLA（Mars orbiter laser altimeter），进一步解算了MGM2011模型，提高了局部火星重力场分辨率。随着火星探测数据的积累，文献［ 16 16 ］解算了120阶次的GMM-3模型以及随着火星环境季节性变化的重力场带谐项，称之为火星时变重力场。 天问一号着陆器已于2021年5月着陆，轨道器已安全在轨运行超过一年，主要负责地球-火星-着陆器之间的通讯以及测图观测。轨道器初步设置为大偏心极轨，以2021年8月任务期间轨道根数为例，半长轴为9 500 km， 偏心率为0.6，轨道倾角为87°，升交点赤经115°，幅角为125°，而拓展任务轨道设计暂未确定。根据火星重力场解算的历史经验，大偏心率极轨道对于重力场模型高阶次以及特定阶次位系数精度有限，因此在正常一年任务期间，轨道器的射电跟踪数据对于当前火星重力场的解算贡献可能有限。本文仿真天问一号拓展任务可能设计的轨道构型，研究极轨、近赤道轨探测器对火星重力场解算的贡献，为天问一号轨道器拓展任务的轨道选取提供参考。 1　仿真方案 1 表1 表1 为目前火星重力场GMM-3解算中使用的射电跟踪数据以及对应的轨道构型，MGS、ODY和MRO均不涉及近赤道轨道的射电跟踪数据。为了仿真天问一号的射电跟踪数据对火星重力场解算的贡献，本文将设置两种解算方案，分别为仅用天问一号极轨射电跟踪数据和综合极轨以及近赤道轨道跟踪数据进行重力场解算。值得一提的是，拓展任务若实施近赤道轨道方案，则可联合火星历史任务数据进行重力场解算。若单纯采用近赤道轨道的跟踪测量数据，由于其无法覆盖中高纬度区域，不便于解算全球性火星重力场模型，因此不设置单独近赤道探测器射电跟踪数据解算重力场的方案。 任务 阶段 跟踪时间 轨道构型 3 MGS SPO（科学定相轨道） 1998⁃03⁃27-1998⁃09⁃17 椭圆中高倾角轨道（170 km） GCO（重力定标轨道） 1999⁃02⁃04-1999⁃02⁃19 椭圆中倾角轨道（378~414 km） MAP（测图轨道） 1999⁃02⁃20-2006⁃01⁃04 近圆极轨道（370 km） 4 2 ODY ODYT（转移轨道） 2002⁃01⁃11-2002⁃01⁃15 椭圆极轨道（180~510 km） ODYM（测图轨道） 2002⁃02⁃20-2014⁃11⁃05 近圆极轨道（390 km） 4 2 MRO MROT（转移轨道） 2006⁃08⁃30-2006⁃09⁃23 椭圆极轨道（220~480 km） MROM（测图轨道） 2006⁃12⁃26-2015⁃03⁃28 近圆极轨道（255 km） 2　模型参数和解算 1 本文仿真计算采用了自主研发的火星探测器精密定轨与重力场参数解算软件 ［ 17 17 - 21 21 17-21 ］ ，纳入WUDOGS（Wuhan University deep-space orbit determination and gravity recovery system） ［ 22 22 - 24 24 22-24 ］ ，仿真计算的模型参数设置见 表2 表2 。火星探测器的力模型包括重力场模型、后牛顿效应、太阳系各大天体导致的三体摄动、太阳光压摄动、相对论效应等，其中太阳光压系数Cr取1.20，火星固体潮系数 k 2 取0.169 ［ 14 14 ］ 。 类型 项目 详细设置 6 力模型 非球形引力 GGM-3 [ 16 16 ] N 体摄动 太阳、各大天体及火卫一、火卫二 太阳光压 固定面质比，Cr=1.20 相对论摄动 Schwarzschild 火星固体潮 k 2 =0.169 [ 14 14 ] 火星大气阻力 Stewart 1987大气密度模型 3 2 坐标系统 惯性系 J2000 火固系 Pathfinder火星定向模型 [ 14 14 ] 3 2 测站改正 测站位置改正 地球固体潮改正 [ 25 25 ] 对流层延迟 Hopfield模型 仿真时段为2020年10-01—10-30，模拟天体的位置采用美国喷气推进实验室（jet propulsion laboratory， JPL）提供的行星历表DE438，仿真观测量为双程测速观测量，观测数据测量噪声设定为0.1 mm/s的高斯白噪声。由于本文研究拓展任务对火星重力场低阶次项的解算贡献，因此在仿真计算时，采用GGM-3截断至50阶次的模型为先验真实模型，对位系数加上3倍位系数的中误差作为重力场模型解算初次迭代的初始模型，单弧段解算中弧段长度设置为1天，局部参数为初始轨道根数、太阳光压以及测量偏差，全局参数为50阶次的火星重力场模型位系数。由于重力场系数均属于全局参数，需要借助SOLVE子程序进行法方程组合和解算，法方程的组合方法参见文献［ 26 26 ］。在单弧段定轨后，输出法方程矩阵可以划分为对应全局参数和局部参数的形式，对于 l 个单弧可形成 l 个法方程： <math display="block" id="M1"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow><mrow><mfenced 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mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116954&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116937&type= 5.50333309 3.64066648 对应全局参数， <math id="M4"><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116957&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116956&type= 5.50333309 3.64066648 、 <math id="M5"><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116950&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116959&type= 5.50333309 3.64066648 为混合矩阵； <math id="M6"><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116962&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116951&type= 3.13266683 2.79399991 为待求参数，下标为1代表局部参数，下标为2代表全局参数； <math id="M7"><mi mathvariant="bold-italic">b</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116965&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116964&type= 1.86266661 2.87866688 为残差信息阵。将上述 l 个法方程按照规定融合成一个大型法方程矩阵 ［ 26 26 ］ ： <math display="block" id="M8"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow><mrow><mfenced 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极轨（15天）+近赤道（15天）组合 测量噪声 MGP1 MGPE1 测量噪声+光压误差 MGP2 MGPE2 测量噪声+光压和自转模型误差 MGP3 MGPE3 3　重力场评价与分析 1 本文为评价重力场模型恢复的有效性和精度，主要对重力场进行谱分析。基于球谐函数展开的火星重力场位 <math id="M9"><mi>U</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116977&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116986&type= 3.30200005 2.79399991 的计算式为： <math display="block" id="M10"><mi>U</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>G</mi><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></mrow></munderover></mstyle><mrow><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mfrac><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mi>λ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi>S</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mi>λ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><msub><mrow><mover><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>θ</mi></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116982&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116980&type= 95.67333221 8.89000034 式中， G 为万有引力常数； M 为火星质量； <math id="M11"><mi>R</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116991&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116999&type= 2.79399991 2.79399991 为火星参考椭球的平均赤道半径； r 、 <math id="M12"><mi>θ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117006&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117002&type= 1.86266661 2.79399991 、 <math id="M13"><mi>λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117012&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116994&type= 1.77800000 2.79399991 分别为卫星在火星球坐标系中的高程、余纬、经度 ［ 27 27 ］ ； <math id="M14"><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117085&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117082&type= 1.86266661 2.79399991 表示阶数； <math id="M15"><mi>m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117030&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45116997&type= 2.87866688 2.79399991 表示次数； <math id="M16"><msub><mrow><mover><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117020&type= 5.58799982 4.06400013 、 <math id="M17"><msub><mrow><mover><mrow><mi>S</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117038&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117023&type= 5.16466665 4.06400013 是正则化的位系数； <math id="M18"><msub><mrow><mover><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117043&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117040&type= 5.50333309 4.06400013 为正则化连带勒让德函数； N max 为最高阶次数。 重力场模型位系数的功率谱分析包括位系数方差 <math id="M19"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117059&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117044&type= 2.87866688 3.72533321 和误差阶方差 <math id="M20"><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117050&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117047&type= 3.13266683 3.72533321 ，计算式分别为： <math display="block" id="M21"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><msub><mrow><mover><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><msub><mrow><mover><mrow><mi>S</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117062&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117052&type= 39.62400055 14.22399998 <math display="block" id="M22"><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mover><mrow><msup><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mi>C</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mover><mo>+</mo><mover><mrow><msup><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mi>S</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mover><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117073&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117063&type= 40.80933380 14.22399998 式中， <math id="M23"><msub><mrow><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mi>C</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117077&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117075&type= 5.41866684 4.40266657 、 <math id="M24"><msub><mrow><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mi>S</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117080&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117079&type= 5.24933338 4.40266657 为系数相应误差 ［ 27 27 ］ 。对于阶方差信息进行分析判断的常用工具是Kaula准则，简而言之正则化的位系数具有零均值特性，标准差与阶数 <math id="M25"><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117085&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117082&type= 1.86266661 2.79399991 的平方成反比，它是重力场模型系数统计规律的一个近似描述，计算式为： <math display="block" id="M26"><msub><mrow><mover><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mover><mrow><mi>S</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>~</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo>±</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117089&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45117087&type= 26.24666595 8.21266651 式中， k 为火星的Kaula准则曲线系数，取值为1.5×10 -4 ［ 16 16 ］ 。在火星重力场模型确定中引入Kaula准则的目的是作为一个正则化因子来克服求解重力场的不稳定性，同时对高阶位系数的计算具有平滑作用 ［ 27 27 ］ 。 图1 图1 为各个重力场模型位系数方差、误差阶方差和Kaula曲线。从 图1 图1 可以看出，Kaula约束在5阶之前约束较强，在5~25阶约束下降较快，25阶之后保持平稳。加入10%的光压误差解算的MGP1和MGPE2模型，在重力场模型功率谱分析中体现不出其影响；进一步加入火星自转模型误差，可以看到对MGP3和MGPE3模型解算影响较大，在35阶次之后位系数方差影响显著。其中，MGPE3模型的位系数方差曲线上升幅度低于MGP3。 此外，42阶次之后所有模型阶方差均高于Kaula线，表示解算的重力场系数不可靠，说明仿真采用的两种轨道对应收集的一个月观测量对于火星重力场42以上阶次的解算贡献有限。但未来联合火星历史探测数据和更长时间段的天问一号拓展任务数据，将具备克服这一问题的潜力，解算阶次的有效性预期可达到与GGM-3一致的水平。 图2 图2 绘制了各模型与GGM-3模型之间的位系数差值阶方差，这可以反映解算重力场模型与GMM-3模型之间的接近程度。其中，实线代表只采用极轨道探测器的射电跟踪数据，点线代表极轨道和近赤道轨道的射电跟踪数据各占一半。从 图2 图2 可以看出，除了MGP3和MGPE3模型，其他理想情况仿真解算的重力场模型和真实模型之间的误差阶方差较为接近，说明了解算流程的可靠性。MGP3和MGPE3模型的位系数误差阶方差也均远低于位系数阶方差；20阶次以下的位系数误差阶方差大于 图1 图1 中的误差阶方差，20阶次以上与 图1 图1 中的误差阶方差曲线较为一致，这反映了添加的自转模型误差信号对重力场低阶位系数的影响。 在相对理想仿真实验中（ 图2 图2 ），采用相同模拟时间长度，相对于近赤道探测器，极轨探测器恢复的20阶次重力场模型系数与GGM-3模型系数较为接近，这主要是因为极轨道覆盖率的优越性；当考虑太阳光压之后（MGP3模型），可以看到采用近赤道轨道解算的20阶次以下的低阶次项与GGM-3模型差异更明显，这是由于其对光压误差信号感知更为敏感。进一步地，当考虑自转模型误差之后（MGPE3模型），不论是极轨探测器还是近赤道探测器，其解算结果与GGM-3模型均有类似量级的差异。值得一提的是，在当前真实火星任务的射电跟踪数据处理中，除了太阳光压摄动、广义相对论摄动、潮汐摄动等建模存在较小的影响外，还存在自转模型误差、大气阻力（低轨道火星探测器面临的）、火星历表误差等较大的长期影响，因此MGP3和MGPE3模型解算更加符合真实情况。 进一步评估MGP3和MGPE3模型对于极轨和近赤道探测器定轨的性能。采用GGM-3模型为理想模型，截断至50阶次，分别对30个弧段的极轨和近赤道探测器进行轨道积分仿真并生成对应双程测速观测值；采用解算的MGP3和MGPE3作为弧段定轨中的重力场模型，分别对极轨探测器和近赤道探测器进行定轨。定轨之后计算重建弧段和基于GGM-3模型积分的理想轨道差异，弧段轨道差异均方根（root mean square， RMS）分布如 图3 图3 所示。 从 图3 图3 中可以看出，对于极轨探测器，不论采用MGP3还是MGPE3进行定轨解算，定轨性能总体相对较为接近，部分弧段采用MGP3重力场模型定轨精度更高。对于近赤道探测器，采用MGPE3模型的定轨精度均优于MGP3；需要注意的是，在第10个弧段之后MGP3模型数据未列出，采用MGP3模型均无法合理定轨。综上可以证实在火星重力场模型解算中加入近赤道轨道跟踪数据的优势，且对于近赤道探测器定轨性能的提升也有较大的贡献。 4　结　语 1 本文针对中国火星任务天问一号的实施方案，分析其拓展任务可能选取的轨道类型对火星重力场解算的贡献，分别仿真了极轨探测器和近赤道探测器射电跟踪测量，在火星重力场恢复中，为更加贴近真实情况，分别考虑太阳光压误差和自转模型误差，解算得到对应6个50阶次的火星重力场模型。一方面，通过对恢复的重力场进行功率谱分析，证实了在更为贴近真实射电跟踪数据处理的情况下，相比于仅使用一个月极轨卫星跟踪数据解算的重力场模型，综合15天极轨和15天近赤道探测器射电跟踪数据解算得到的低阶火星重力场模型也可达到同等精度水平；另一方面，从位系数方差分析中可以看出，近赤道探测器对于35~50阶次的信号约束优于极轨探测器。考虑到国外历史火星探测中近赤道轨道探测器射电跟踪数据稀少，天问一号任务的常规任务成功实施之后，拓展任务采用极轨或近赤道轨道对于火星重力场均具有解算火星低阶次重力场的可行性，若采用近赤道大偏心率轨道，对目前火星重力场低阶项位系数的研究意义更大。 参考文献 Wan W X ， Wang C ， Li C L ， et al . 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